告別玄學！一文搞懂 PCA 降維原理+ 避坑指南
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發表時間：2025-09-04
生物醫學研究的浩瀚海洋中，我們常常面臨著海量且高維度的數據洪流。以基因數據為例，每一個樣本都承載著成千上萬個基因的測量指標，每一個基因都宛如一個獨特的特征維度，共同構成了一個復雜龐大的多維數據空間。然而，人類的認知能力在面對如此高維度的數據時，往往顯得力不從心，難以直觀地洞察樣本之間的內在差異與聯系。
此時，主成分分析（PCA，principal component analysis）便如同一座明亮的燈塔，為我們在數據的迷霧中指引方向。PCA 是一種經典的降維方法，其核心理念在于從眾多的原始特征維度中，提煉出少數幾個關鍵的維度，即所謂的“主成分”。這些主成分并非簡單地從原始特征中挑選而來，而是通過對原始數據進行復雜的線性變換，重新構建出一組新的、相互獨立的特征維度。它們能夠最大程度地保留原始數據中的信息，并且以一種更加簡潔、直觀的方式呈現出來。
當我們運用 PCA 對生物醫學數據進行降維處理后，原本難以捉摸的高維度數據便被濃縮為幾個關鍵的主成分。我們可以通過可視化等手段，清晰地觀察到樣本在這些主成分維度上的分布情況，從而直觀地發現樣本之間最重要的區別。
圖形解釋:
1、橫坐標：第一主成分及貢獻率
在 PCA 圖形的橫坐標軸上，我們迎來了貢獻率最高的主成分。這一主成分宛如數據世界中的“領頭羊”，其貢獻率是衡量它在整體數據方差中所占比例的關鍵指標。貢獻率越高，意味著該主成分在描述總體數據特征時所承載的權重越大，它能夠最大程度地反映數據中的主要變異趨勢。例如，在基因表達數據中，第一主成分可能捕捉到了與細胞周期調控或特定疾病發生發展最為密切相關的基因表達變化模式，從而為我們提供了一個從宏觀角度審視數據差異的重要視角。
2、縱坐標：第二主成分及貢獻率
與第一主成分攜手構建起二維主成分空間的縱坐標軸，代表著貢獻率次高的第二主成分。雖然它的貢獻率略低于第一主成分，但它同樣在數據的降維表達中扮演著不可或缺的角色。第二主成分捕捉的是在第一主成分之外，數據中最重要的另一部分變異信息。它與第一主成分相互獨立，共同為我們提供了一個更全面、更立體的視角來觀察樣本之間的差異。通過分析第二主成分的貢獻率，我們可以進一步了解數據中次要變異趨勢的強度，以及它與主要變異趨勢之間的相對關系，從而更深入地挖掘數據背后的生物學機制。
3、樣本：主成分空間中的位置與差異
每個樣本在主成分空間中的位置，就如同它們在數據宇宙中的獨特坐標。樣本之間的距離則成為衡量它們在主成分空間中差異大小的直觀尺度。當樣本之間緊密聚集在一起時，這表明它們在主成分所代表的關鍵特征維度上具有高度的相似性，差異性較小。這種聚集現象可能暗示著這些樣本在生物學上屬于同一類別，例如，它們可能來自同一疾病階段的患者群體，或者具有相似的基因表達調控模式。相反，如果樣本之間的距離相對較遠，那么它們在主成分空間中的差異性就越大，這可能意味著它們在生物學功能、疾病狀態或其他關鍵特征上存在顯著的差異。通過觀察樣本在主成分空間中的分布情況，我們可以快速地識別出數據中的聚類結構和異常樣本，為進一步的生物學分析提供重要的線索。
4、分組信息：實驗設計的可視化呈現
為了更好地滿足實驗需求和研究目的，我們常常會根據特定的實驗條件或生物學特征對樣本進行分組。在 PCA 圖形中，這些不同的樣本分組會通過不同的顏色加以區分，使得不同組別之間的差異一目了然。這種顏色編碼的方式不僅方便我們直觀地比較不同實驗組或疾病狀態下的樣本分布情況，還能夠幫助我們快速識別出分組之間是否存在明顯的分離趨勢。例如，在藥物治療實驗中，通過觀察不同治療組和對照組樣本在主成分空間中的顏色分布，我們可以初步判斷藥物是否對樣本的基因表達模式產生了顯著的影響，以及這種影響是否具有組間特異性。分組信息的可視化呈現為我們提供了一個從宏觀層面評估實驗設計效果和生物學假設合理性的有力工具。
5、樣本分布的置信區間：數據穩定性的量化表達
在 PCA 圖形中，圓圈的出現為我們帶來了樣本分布的置信區間信息。這些圓圈通常表示 95% 置信區間內的樣本分組，它們為我們提供了一種量化評估樣本分布穩定性和離散程度的方法。圓圈的大小反映了樣本點在該分組內的分布集中程度。一個較小的圓圈意味著樣本點在主成分空間中較為緊密地聚集在一起，這表明該分組內的樣本在關鍵特征維度上具有較高的相似性和穩定性，受到隨機變異的影響較小。相反，較大的圓圈則暗示著樣本點分布較為分散，可能存在較大的個體差異或受到更多的隨機因素干擾。而圓圈之間的距離則進一步體現了樣本組之間的離散程度。當圓圈之間相互分離且距離較遠時，這表明不同分組之間的樣本在主成分空間中具有明顯的差異，這種差異可能具有重要的生物學意義，例如，不同疾病亞型之間的基因表達差異。通過分析樣本分布的置信區間，我們不僅能夠評估數據的可靠性和穩定性，還能夠為后續的統計分析和生物學解釋提供更加堅實的基礎。
一、如何理解PCA分析
PCA 分析并非簡單地從現有的特征中直接挑選最重要的主成分，而是通過一系列精妙的數學變換來實現這一目標。這一過程的核心在于對原始數據進行線性變換，將原始的特征空間轉換為一個新的特征空間，使得在這個新的空間中，數據的方差能夠沿著新的坐標軸（即主成分）被最大化地展開。通過這種方式，PCA 能夠挖掘出數據中最主要的變異趨勢，從而提取出最重要的主成分，為我們提供一個更加簡潔、高效的數據表示方式。
以二維數據為例的直觀理解
為了更直觀地理解這一過程，我們可以借助一個簡單的二維數據示例。假設我們有一組數據，包括 3 個男性和 3 個女性的身高和體重數據，如下表所示：
我們想要在圖上展示,可以通過身高體重的二維散點圖進行展示,如A圖。同樣,我們用PCA的方法處理這數據,得到B圖:
當我們對比散點圖與 PCA 圖時，會發現它們本質上是對數據進行了不同的空間變換，但數據點之間的相對空間位置保持一致。在 PCA 圖中，大部分的差異被集中體現在第一個主成分（PC1）上，其貢獻度高達 99.6%，而第二個主成分（PC2）的貢獻度僅為 0.4%。
若將生物學中的身高、體重等常見指標替換為每個基因的表達量，這就構成了我們常見的生物學數據。從理論角度而言，在 n 維空間中，最多可以提取出 n 個主成分。然而，由于人類的視覺感知能力所限，最多只能直觀地觀察到三維空間中的數據。因此，在實際應用中，PCA 分析通常只展示二維或三維的結果，以便我們更直觀地理解數據的結構和差異。
二、PCA計算過程原理
根據我們對PCA的初步理解，可以知道PCA分析的計算過程實際上是一個數據變換和投影到各個維度（主成分）的過程。這一過程可以分為五個步驟：
1. 數據中心化：歸一化每個維度的數值（均值歸零）
首先，我們需要對數據進行中心化處理，即從每個維度的數值中減去其均值，使數據的均值歸零：
2. 各維度的相關性計算：協方差矩陣揭示特征關系
接下來，我們計算各維度之間的相關性，這通常通過協方差矩陣來實現。協方差矩陣的元素反映了變量之間的線性關系：
3. 協方差矩陣特征值分解與排序：尋找關鍵方向
然后，我們對協方差矩陣進行特征值分解，并按大小進行排序：
其中：
λ 是特征值，表示該方向上的數據方差；
u 是特征向量，表示降維時的投影方向。
4. 選擇主成分并投影：構建投影矩陣
選擇前 m 個最大特征值對應的向量，組成降維后的新特征空間，形成投影矩陣：
5. 將原始數據投影到新空間：實現降維
最后，將原始數據通過投影矩陣 W 投影到新空間，實現數據的降維：
通過這五個步驟，PCA分析能夠從復雜的高維度數據中提取出關鍵的變異信息，將其轉化為直觀、易于理解的低維度表示。
三、繪圖所需要數據
為了進行有效的 PCA 分析并繪制出有意義的圖形，我們需要準備以下關鍵數據：
1. 樣本-基因表達量定量矩陣
樣本-基因表達量定量矩陣是進行 PCA 分析的基礎數據。這種矩陣通常來源于高通量測序（如 RNA-seq）或微陣列實驗的定量結果。矩陣包含兩個維度的數據，其中：
每一行代表一個基因；
每一列代表一個樣本；
數值表示該基因在對應樣本中的表達量。
為了確保 PCA 分析的準確性和可靠性，所需的數據應經過適當的預處理，包括但不限于標準化、歸一化等步驟。此外，數據中不應包含缺失值，因為缺失值可能會影響協方差矩陣的計算，從而影響 PCA 結果的準確性。
2. 分組信息
分組信息是進行 PCA 分析時用于區分不同樣本組的重要數據。這種信息通常以表格形式提供，其中：
第一列是樣本名，用于唯一標識每個樣本；
第二列是分組名，用于指示每個樣本所屬的實驗組或條件。
分組信息在 PCA 分析中至關重要，因為它允許我們在圖形中通過顏色、形狀或其他視覺標記來區分不同組別的樣本。這有助于我們直觀地觀察不同組別之間的差異，以及它們在主成分空間中的分布情況。
四、如何繪制PCA圖形
不需要編寫任何代碼，只需按照以下步驟操作：
上傳數據：首先，將準備好的樣本-基因表達量定量矩陣和分組信息上傳到 云平臺。確保數據格式正確，且經過適當的預處理。
選擇分析類型：在平臺上選擇 PCA 分析選項。平臺會自動識別上傳的數據類型，并提供相應的分析參數設置選項。
參數設置：根據研究需要，設置 PCA 分析的相關參數，如主成分的數量、數據標準化方法等。平臺通常會提供一些默認設置，用戶可以根據需要進行調整。
運行分析：設置好參數后，點擊運行按鈕，平臺會自動執行 PCA 分析，并生成相應的圖形。
結果解讀：分析完成后，平臺會展示 PCA 圖形，并提供一些基本的統計信息和解釋。用戶可以根據圖形和信息，對結果進行解讀和分析。
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